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Euler's Number Calculator

Erkunde Eulers Zahl e mit Taylor-Reihen-AnnÀherung, stetiger Verzinsung und Normalverteilung.

Eulersche Zahl (e)

e = 2.718281828459045

Über dieses Tool

Die Eulersche Zahl (e ≈ 2,71828) ist eine der wichtigsten mathematischen Konstanten in Analysis, Statistik, Finanzen und Physik. Sie stellt die Basis des natĂŒrlichen Logarithmus dar und beschreibt kontinuierliches Wachstum und Zerfall. Dieser Rechner hilft Ihnen, das Verhalten von e durch Taylor-Reihen-Approximationen zu erkunden, die zeigen, wie Mathematiker diese unendliche Konstante mit beliebiger Genauigkeit berechnen.

Passen Sie die Anzahl der Terme der Taylor-Reihe an, um zu beobachten, wie die AnnĂ€herung gegen den wahren Wert von e konvergiert. Der Simulator fĂŒr kontinuierliche Zinseszinsen zeigt, wie die Eulersche Zahl entsteht, wenn Zinsen unendlich oft aufgezinst werden—ein Kernkonzept der Finanzmathematik. Der Normalverteilungs-Viewer zeigt die berĂŒhmte Glockenkurve, die in ihrer mathematischen Formel von e abhĂ€ngt und fĂŒr Statistik und Datenwissenschaft unverzichtbar ist.

Dieses Werkzeug ist ideal fĂŒr SchĂŒler, die Analysis und Statistik lernen, Entwickler, die mit mathematischen Bibliotheken arbeiten, und alle, die neugierig sind, wie fundamentale Konstanten PhĂ€nomene der realen Welt prĂ€gen. Jede Visualisierung aktualisiert sich sofort und ermöglicht Ihnen, mit verschiedenen Parametern zu experimentieren und Intuition fĂŒr exponentielles Wachstum, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die tiefe Mathematik hinter alltĂ€glichen finanziellen und wissenschaftlichen Berechnungen aufzubauen.

HĂ€ufig gestellte Fragen

Code-Implementierung

import math
from decimal import Decimal, getcontext

# 1. Taylor series approximation of e
def euler_taylor(n_terms: int) -> float:
    """Approximate e using n terms of Taylor series: sum(1/k!) for k=0..n"""
    total = 0.0
    factorial = 1
    for k in range(n_terms):
        if k > 0:
            factorial *= k
        total += 1 / factorial
    return total

# 2. High-precision e using Python's decimal module
def euler_high_precision(decimal_places: int) -> Decimal:
    getcontext().prec = decimal_places + 10  # extra guard digits
    e = Decimal(0)
    factorial = Decimal(1)
    for k in range(200):  # 200 terms is enough for 100+ decimal places
        if k > 0:
            factorial *= k
        term = Decimal(1) / factorial
        e += term
        if term < Decimal(10) ** -(decimal_places + 5):
            break
    return +e  # re-apply precision

# 3. Common formulas involving e
def compound_continuous(principal: float, rate: float, years: float) -> float:
    """A = P × e^(r×t) — continuous compounding formula"""
    return principal * math.exp(rate * years)

def normal_pdf(x: float, mu: float = 0, sigma: float = 1) -> float:
    """Normal distribution PDF: f(x) = (1/σ√2π) × e^(-(x-”)ÂČ/2σÂČ)"""
    return (1 / (sigma * math.sqrt(2 * math.pi))) * math.exp(-((x - mu)**2) / (2 * sigma**2))

# Examples
print(f"e (Python math):     {math.e}")
print(f"e (5 terms):         {euler_taylor(5):.8f}")
print(f"e (20 terms):        {euler_taylor(20):.15f}")

# Euler's identity: e^(iπ) + 1 = 0
e_to_ipi = math.exp(complex(0, math.pi))
print(f"\ne^(iπ) = {e_to_ipi.real:.10f} + {e_to_ipi.imag:.0f}i")
print(f"e^(iπ) + 1 = {e_to_ipi.real + 1:.2e}  (≈ 0, Euler's identity)")

# Continuous compounding
amount = compound_continuous(1000, 0.05, 10)
print(f"\n$1000 at 5% for 10 years (continuous): ${amount:.2f}")

# Normal distribution at x=0
print(f"Normal PDF at x=0: {normal_pdf(0):.6f}")

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