Calculadora de Frações Contínuas
Converta decimais ou frações para notação de fração contínua com convergentes.
Sobre esta ferramenta
Uma fração contínua é uma representação matemática que expressa qualquer número real como uma sequência de divisões aninhadas. Diferentemente da notação decimal padrão, as frações contínuas revelam a estrutura aritmética subjacente de um número e fornecem aproximações racionais progressivamente melhores. Esta ferramenta converte sua entrada—seja um número decimal como 3.14159 ou uma fração como 355/113—em sua forma de fração contínua, permitindo que você entenda facilmente como os matemáticos descobriram historicamente aproximações racionais notavelmente precisas para constantes irracionais.
Usar esta calculadora é simples: insira seu número decimal ou uma fração na forma numerador/denominador, depois especifique quantos termos deseja calcular. A ferramenta exibe a notação de fração contínua na forma [a₀; a₁, a₂, ...] e gera uma tabela de convergentes—a sequência de frações que aproximam progressivamente seu número original com precisão cada vez maior. Cada convergente fornece a melhor aproximação racional possível relativa ao tamanho de seu denominador, uma propriedade explorada em sistemas de navegação, cálculos astronômicos e afinação musical.
Frações contínuas são particularmente valiosas em teoria dos números e criptografia, onde aproximar números irracionais de forma eficiente pode expor propriedades matemáticas sutis. Os padrões periódicos que emergem para certos números irracionais (como a raiz quadrada de 2) revelam conexões profundas com álgebra e geometria. Quer você esteja explorando matemática pura, validando aproximações de engenharia ou simplesmente curioso sobre por que 355/113 aproxima π tão precisamente, esta ferramenta transforma a teoria abstrata de frações contínuas em computação visual e interativa.
Perguntas Frequentes
Implementação de Código
import math
def continued_fraction(x: float, max_terms: int = 20) -> list[int]:
"""Compute continued fraction representation of x"""
terms = []
remaining = x
for _ in range(max_terms):
a = int(math.floor(remaining))
terms.append(a)
frac = remaining - a
if abs(frac) < 1e-10:
break
remaining = 1 / frac
if not math.isfinite(remaining):
break
return terms
def convergents(terms: list[int]) -> list[tuple[int, int]]:
"""Compute convergents (rational approximations) from continued fraction terms"""
conv = []
h_prev, h_curr = 1, terms[0]
k_prev, k_curr = 0, 1
conv.append((h_curr, k_curr))
for i in range(1, len(terms)):
a = terms[i]
h_next = a * h_curr + h_prev
k_next = a * k_curr + k_prev
h_prev, h_curr = h_curr, h_next
k_prev, k_curr = k_curr, k_next
conv.append((h_curr, k_curr))
return conv
# Example: pi
pi_terms = continued_fraction(math.pi, 10)
print(f"pi = [{pi_terms[0]}; {', '.join(map(str, pi_terms[1:]))}]")
for num, den in convergents(pi_terms):
approx = num / den
error = abs(approx - math.pi)
print(f" {num}/{den} = {approx:.10f} (error: {error:.2e})")
# Golden ratio
phi = (1 + math.sqrt(5)) / 2
print(f"phi terms: {continued_fraction(phi, 8)}") # All ones!
# sqrt(2)
sqrt2_terms = continued_fraction(math.sqrt(2), 8)
print(f"sqrt(2) terms: {sqrt2_terms}") # [1; 2, 2, 2, ...]
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