Euler's Number Calculator
Исследуйте число Эйлера e с аппроксимацией рядом Тейлора, непрерывным начислением и нормальным распределением.
Число Эйлера (e)
e = 2.718281828459045
Об этом инструменте
Число Эйлера (e ≈ 2,71828) — одна из наиболее важных математических констант в анализе, статистике, финансах и физике. Оно представляет основание натурального логарифма и описывает непрерывный рост и убывание. Этот калькулятор помогает вам исследовать поведение e через аппроксимации рядом Тейлора, которые показывают, как математики вычисляют эту бесконечную константу с любой требуемой точностью.
Регулируйте количество членов ряда Тейлора, чтобы наблюдать, как аппроксимация сходится к истинному значению e. Симулятор непрерывного сложного процента показывает, как число Эйлера возникает при бесконечно частом начислении процентов—это фундаментальная концепция финансовой математики. Визуализатор нормального распределения отображает знаменитую колоколообразную кривую, которая зависит от e в своей математической формуле и необходима для статистики и науки о данных.
Этот инструмент идеален для студентов, изучающих анализ и статистику, разработчиков, работающих с математическими библиотеками, и всех, кто любопытен о том, как фундаментальные константы формируют явления реального мира. Каждая визуализация обновляется мгновенно, позволяя вам экспериментировать с различными параметрами и развивать интуицию для экспоненциального роста, распределений вероятности и глубокой математики, лежащей в основе повседневных финансовых и научных расчётов.
Часто задаваемые вопросы
Реализация кода
import math
from decimal import Decimal, getcontext
# 1. Taylor series approximation of e
def euler_taylor(n_terms: int) -> float:
"""Approximate e using n terms of Taylor series: sum(1/k!) for k=0..n"""
total = 0.0
factorial = 1
for k in range(n_terms):
if k > 0:
factorial *= k
total += 1 / factorial
return total
# 2. High-precision e using Python's decimal module
def euler_high_precision(decimal_places: int) -> Decimal:
getcontext().prec = decimal_places + 10 # extra guard digits
e = Decimal(0)
factorial = Decimal(1)
for k in range(200): # 200 terms is enough for 100+ decimal places
if k > 0:
factorial *= k
term = Decimal(1) / factorial
e += term
if term < Decimal(10) ** -(decimal_places + 5):
break
return +e # re-apply precision
# 3. Common formulas involving e
def compound_continuous(principal: float, rate: float, years: float) -> float:
"""A = P × e^(r×t) — continuous compounding formula"""
return principal * math.exp(rate * years)
def normal_pdf(x: float, mu: float = 0, sigma: float = 1) -> float:
"""Normal distribution PDF: f(x) = (1/σ√2π) × e^(-(x-µ)²/2σ²)"""
return (1 / (sigma * math.sqrt(2 * math.pi))) * math.exp(-((x - mu)**2) / (2 * sigma**2))
# Examples
print(f"e (Python math): {math.e}")
print(f"e (5 terms): {euler_taylor(5):.8f}")
print(f"e (20 terms): {euler_taylor(20):.15f}")
# Euler's identity: e^(iπ) + 1 = 0
e_to_ipi = math.exp(complex(0, math.pi))
print(f"\ne^(iπ) = {e_to_ipi.real:.10f} + {e_to_ipi.imag:.0f}i")
print(f"e^(iπ) + 1 = {e_to_ipi.real + 1:.2e} (≈ 0, Euler's identity)")
# Continuous compounding
amount = compound_continuous(1000, 0.05, 10)
print(f"\n$1000 at 5% for 10 years (continuous): ${amount:.2f}")
# Normal distribution at x=0
print(f"Normal PDF at x=0: {normal_pdf(0):.6f}")Comments & Feedback
Comments are powered by Giscus. Sign in with GitHub to leave a comment.