Lewati ke konten
🛠️ToolsShed

Euler's Number Calculator

Jelajahi bilangan Euler e dengan aproksimasi deret Taylor, compounding berkelanjutan, dan distribusi normal.

Konstanta Euler (e)

e = 2.718281828459045

Tentang alat ini

Bilangan Euler (e ≈ 2,71828) adalah salah satu konstanta matematika paling penting dalam kalkulus, statistik, keuangan, dan fisika. Ia mewakili basis logaritma alami dan mendeskripsikan pertumbuhan dan peluruhan berkelanjutan. Kalkulator ini membantu Anda menjelajahi perilaku e melalui aproksimasi deret Taylor, yang menunjukkan bagaimana matematikawan menghitung konstanta tak terbatas ini dengan presisi yang diinginkan.

Sesuaikan jumlah suku deret Taylor untuk melihat bagaimana aproksimasi konvergen ke nilai sebenarnya dari e. Simulator bunga majemuk berkelanjutan menunjukkan bagaimana bilangan Euler muncul ketika bunga dimajemukkan secara tak terbatas—konsep inti matematika keuangan. Penampil distribusi normal menampilkan kurva lonceng terkenal, yang bergantung pada e dalam rumus matematikanya dan penting untuk statistik dan sains data.

Alat ini ideal untuk siswa yang mempelajari kalkulus dan statistik, pengembang yang bekerja dengan pustaka matematika, dan siapa pun yang penasaran tentang bagaimana konstanta fundamental membentuk fenomena dunia nyata. Setiap visualisasi diperbarui secara instan, memungkinkan Anda bereksperimen dengan parameter berbeda dan membangun intuisi tentang pertumbuhan eksponensial, distribusi probabilitas, dan matematika mendalam yang mendasari perhitungan keuangan dan ilmiah sehari-hari.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Implementasi Kode

import math
from decimal import Decimal, getcontext

# 1. Taylor series approximation of e
def euler_taylor(n_terms: int) -> float:
    """Approximate e using n terms of Taylor series: sum(1/k!) for k=0..n"""
    total = 0.0
    factorial = 1
    for k in range(n_terms):
        if k > 0:
            factorial *= k
        total += 1 / factorial
    return total

# 2. High-precision e using Python's decimal module
def euler_high_precision(decimal_places: int) -> Decimal:
    getcontext().prec = decimal_places + 10  # extra guard digits
    e = Decimal(0)
    factorial = Decimal(1)
    for k in range(200):  # 200 terms is enough for 100+ decimal places
        if k > 0:
            factorial *= k
        term = Decimal(1) / factorial
        e += term
        if term < Decimal(10) ** -(decimal_places + 5):
            break
    return +e  # re-apply precision

# 3. Common formulas involving e
def compound_continuous(principal: float, rate: float, years: float) -> float:
    """A = P × e^(r×t) — continuous compounding formula"""
    return principal * math.exp(rate * years)

def normal_pdf(x: float, mu: float = 0, sigma: float = 1) -> float:
    """Normal distribution PDF: f(x) = (1/σ√2π) × e^(-(x-µ)²/2σ²)"""
    return (1 / (sigma * math.sqrt(2 * math.pi))) * math.exp(-((x - mu)**2) / (2 * sigma**2))

# Examples
print(f"e (Python math):     {math.e}")
print(f"e (5 terms):         {euler_taylor(5):.8f}")
print(f"e (20 terms):        {euler_taylor(20):.15f}")

# Euler's identity: e^(iπ) + 1 = 0
e_to_ipi = math.exp(complex(0, math.pi))
print(f"\ne^(iπ) = {e_to_ipi.real:.10f} + {e_to_ipi.imag:.0f}i")
print(f"e^(iπ) + 1 = {e_to_ipi.real + 1:.2e}  (≈ 0, Euler's identity)")

# Continuous compounding
amount = compound_continuous(1000, 0.05, 10)
print(f"\n$1000 at 5% for 10 years (continuous): ${amount:.2f}")

# Normal distribution at x=0
print(f"Normal PDF at x=0: {normal_pdf(0):.6f}")

Comments & Feedback

Comments are powered by Giscus. Sign in with GitHub to leave a comment.